多項式的乘除運算
1. 利用指數律來進行多項式的乘法。
(1) xm×xn＝xm＋n。
(2) (xm)n＝xmn。
2. 利用乘法公式來進行多項式的乘法。
(1) (x＋y)2＝x2＋2xy＋y2。
(2) (x－y)2＝x2－2xy＋y2。
(3) (x＋y)(x－y)＝x2－y2。
3. 利用指數律：am÷an＝am－n以及長除法或分離係數法，來進行多項式的除法。
4. 在做除法運算時，除法要做到餘式的次數比除式的次數小，或餘式為0才算完成。若遇到缺項時，該項係數要補0。
5. 在多項式的除法中，設被除式為A，除式為B，商式為Q，餘式為R，B≠0，則：
(1) A＝BQ＋R，亦即被除式＝除式×商式＋餘式。
(2) EQ \F(A,B＝Q＋ EQ \F(R,B，亦即＝商式＋。
多項式與其加減運算
1. 在一個x的多項式中，x的最高次數稱為這個多項式的次數。
2. 多項式ax2＋bx＋c的二次項是ax2，它的係數為a；一次項是bx，它的係數為b；常數項是c。
3. 將x的多項式的各項依照x的次數由小到大排列，稱為升冪排列；依照x的次數由大到小排列，稱為降冪排列。
4. 做多項式的加(減)法運算時，就是把同類項係數相加(減)。
5. 分離係數法是將直式中各項的係數與文字分開，只寫出係數做運算的一種方法。而在寫出係數時，遇到缺項，通常都補0。
6. (1) 若m＞n，則一個m次多項式與一個n次多項式，相加減後的和或差必為m次多項式。
(2) 若m＝n，則一個m次多項式與一個n次多項式，相加減後的和或差從零次到m次都
有可能。
乘法公式
1. 乘法對加減法的分配律：
(1) a(b＋c)＝ab＋ac；a(b－c)＝ab－ac。
(2) (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；(a＋b)(c－d)＝ac－ad＋bc－bd；
(a－b)(c＋d)＝ac＋ad－bc－bd；(a－b)(c－d)＝ac－ad－bc＋bd。
2. 和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。
3. 差的平方公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2。
4. 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2。
5. 乘法公式內的符號變化：
(1) (－a＋b)2＝(a－b)2＝a2－2ab＋b2。
(2) (－a－b)2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。
(3) (－a－b)(－a＋b)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2。
(4) (－a＋b)(a＋b)＝(b－a)(b＋a)＝b2－a2。
(5) (－a－b)(a－b)＝－(a＋b)(a－b)＝－(a2－b2)＝－a2＋b2。
6. 兩項式的平方公式活用：
(1) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；a2＋b2＝(a－b)2＋2ab。
(2) (a－b)2＝(a＋b)2－4ab；(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab。
分數的加減
1. 分數的大小比較：
(1) ① 同分母的正分數：若分子愈大，其值愈大。
② 同分子的正分數：若分母愈大，其值愈小。
③ 異分母的正分數：利用擴分或約分將所有分數化成同分母或同分子後，再比較大小。
(2) ① 分子、分母差值一樣的兩個正真分數，其分子、分母愈大者，其值也愈大。
例： EQ \F(9,10＜ EQ \F(10,11＜ EQ \F(11,12。
② 分子、分母差值一樣的兩個正假分數，其分子、分母愈大者，其值也愈小。
例： EQ \F(10,9＞ EQ \F(11,10＞ EQ \F(12,11。
2. 任意幾個分數都可以做加、減運算，其作法如下。
(1) 同分母時：分母不變，分子直接相加或相減。
(2) 異分母時：將這些分數通分化成同分母後，再相加或相減。
3. 去括號法則：括號內的式子可以先計算，若不先計算，則可利用去括號的法則化簡。
(1) 括號前為「＋」號：去括號後，各項符號不變。例：a＋(b－c)＝a＋b－c。
(2) 括號前為「－」號：去括號後，各項符號都要改變。例：a－(b－c)＝a－b＋c。
4. 加法的交換律與結合律：若a、b、c為任意數，則：
(1) 交換律：a＋b＝b＋a。
(2) 結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b＝a＋b＋c。
5. 具有規律性的計算題型通常可利用分項對消的方法讓計算過程簡化。
最大公因數與最小公倍數
1. (1) 公因數與最大公因數：幾個整數中，其共同的因數稱為它們的公因數；
而最大者則稱為最大公因數，以符號( )表示。
(2) 公倍數與最小公倍數：幾個整數中，其共同的倍數稱為它們的公倍數；
而最小者則稱為最小公倍數，以符號[ ]表示。
2. 可由國小所學的短除法來求最大公因數與最小公倍數。
3. (1) 幾個整數的最大公因數的所有因數，也恰是這幾個整數的公因數。
(2) 幾個整數的最小公倍數的所有倍數，也恰是這幾個整數的公倍數。
4. (1) 兩個正整數a、b，若a為b的倍數，則(a , b)＝b。
(2) 兩個正整數a、b，若a為b的倍數，則[a , b]＝a。
5. (1) 若兩個整數的最大公因數為1，則稱這兩個數互質。
(2) 若兩個整數沒有相同的質因數，則這兩數互質。
6. 除了利用國小所學的短除法來求最大公因數與最小公倍數外，尚可利用各數的標準分解式求得。
(1) 最大公因數：取共同的質因數，次方取較小的相乘，此即為最大公因數。
(2) 最小公倍數：取所有的質因數，次方取較大的相乘，此即為最小公倍數。
例：(32×53×73 , 32×5×74×11)＝32×5×73 [32×53×73 , 32×5×74×11]＝32×53×74×11
7. 在處理餘數與不足數的題型時，各數若有餘數則要減去，有不足數則要加上，再求其最大公因數，但須注意除數一定要比餘數及不足數大。
8. 排容原理常與最小公倍數出現綜合考題，以求出特定條件的倍數個數。
因數與倍數
1. 因數、倍數的意義：a、b、c為整數，且b≠0，c≠0，若a＝b×c，則a為b、c的倍數，
b、c為a的因數。
2. (1) 2的倍數判別法：若一個整數的個位數字為0、2、4、6、8，則這個整數即為2的倍數。
(2) 5的倍數判別法：若一個整數的個位數字為0、5，則這個整數即為5的倍數。
(3) 4的倍數判別法：若一個整數的末兩位數字為4的倍數，則這個整數即為4的倍數。
(4) 3的倍數判別法：若一個整數的各位數字和為3的倍數，則這個整數即為3的倍數。
(5) 9的倍數判別法：若一個整數的各位數字和為9的倍數，則這個整數即為9的倍數。
(6) 11的倍數判別法：若一個整數的奇數位數字和與偶數位數字和的差是11的倍數，
則這個整數即為11的倍數。
3. (1) 質數：一個大於1的整數，如果除了1和它本身之外，沒有其他的正因數，則稱這個
整數為質數。
(2) 合數：一個大於1的整數，如果除了1和它本身之外，還有其他的正因數，則稱這個
整數為合數。
4. 質因數：一個整數的因數如果是質數，則這個因數就是這個整數的質因數。
5. 質因數分解：每一個合數都可以分解成它的質因數的連乘積，其中分解的過程即稱為質因數分解。
6. 標準分解式：將一個合數做質因數分解，若按照質因數的大小，由小到大排列，並將相同質因數的乘積寫成指數的形式，則這樣的表示法稱為標準分解式。
科學記號
1. 若將一個正數寫成a×10n的形式，其中1 a＜10，n為整數，
則我們稱其為「科學記號表示法」。
2. 若n為正整數，則：
(1) 科學記號a×10n乘開後，整數部分是(n＋1)位數。
(2) 科學記號a×10－n乘開後，小數點後第n位才開始出現不為0的數字。
3. 科學記號的大小比較：當指數不同時，指數較大者其值也較大；
當指數相同時，則前面的數較大者，其值也較大。
例：(1) 指數不同時，比較指數大小即可：2×105＞7×104＞8×103
(2) 指數相同時，比較前面的數大小即可：8×105＞7×105＞6×105
4. 科學記號的乘法：(a×10m) (b×10n)＝(a×b)×10m＋n。
例：(5×104)×(9×102)＝(5×9)×104＋2＝45×106＝4.5×107
5. 科學記號的除法：(a×10m)÷(b×10n)＝(a÷b)×10m－n。
例：(2×108)÷(5×103)＝(2÷5)×108－3＝0.4×105＝4×104
6. (補充)科學記號的加法或減法：通常均化成指數較高次者以便於相加或相減。
例：4×105＋3×104＝4×105＋0.3×105＝4.3×105
3×107－8×105＝3×107－0.08×107＝2.92×107
指數律
n個a
1. 設a為任意數，則a×a×a×…×a可記為an，讀作「a的n次方」，其中a稱為底數，n稱為指數或次方。
2. (負數)偶次方＞0，(負數)奇次方＜0。
3. (－1)偶次方＝1，(－1)奇次方＝－1。
4. 乘方的大小比較：先判斷各指數乘開後為正數還是負數，正數必大於負數。若正負符號相同時，將各數化成同底數或同指數以便於判斷。
5. 若a、b都是不為0的整數，且m、n為整數，則：
(1) am×an＝am＋n。
(2) (am)n＝am×n。
(3) (a×b)m＝am×bm。
(4) am÷an＝am－n。
(5) a0＝1 (註：00為無意義)。
(6) a－n＝。
整數的乘除與四則運算
1. 同號數相乘或相除會得正數；異號數相乘或相除會得負數。
亦即「正正得正」、「正負得負」、「負正得負」、「負負得正」。
2. 偶數個負數連乘除得正；奇數個負數連乘除得負。
3. 四則運算的原則：
(1) 若只有加減或只有乘除時，通常是由左而右計算，除非使用了加法、乘法的交換律或
結合律。
(2) 若混有加減乘除四則運算時，要先做乘除，再做加減。
(3) 若混有指數或絕對值的部分，則觀察其位置後再決定是先算還是後算。
(4) 若遇有多重括號時，應先算小括號，再算中括號，最後算大括號。
4. (1) 若a×b＞0，且a＋b＞0，則a＞0，b＞0。
(2) 若a×b＞0，且a＋b＜0，則a＜0，b＜0。
(3) 若a×b＜0，且a－b＞0，則a＞0，b＜0。
(4) 若a×b＜0，且a－b＜0，則a＜0，b＞0。
5. (1) 加法的交換律：a＋b＝b＋a。
(2) 加法的結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b＝a＋b＋c。
6. (1) 乘法的交換律：a×b＝b×a。
(2) 乘法的結合律：(a×b)×c＝a×(b×c)＝(a×c)×b＝a×b×c。
(3) 乘法對加減法的分配律：
(3) 左分配：a×(b＋c)＝a×b＋a×c；a×(b－c)＝a×b－a×c。
(3) 右分配：(a＋b)×c＝a×c＋b×c；(a－b)×c＝a×c－b×c。
7. 提公因數：a×b＋a×c＝a×(b＋c)；a×b－a×c＝a×(b－c)。
整數的乘除與四則運算
1. 同號數相乘或相除會得正數；異號數相乘或相除會得負數。
亦即「正正得正」、「正負得負」、「負正得負」、「負負得正」。
2. 偶數個負數連乘除得正；奇數個負數連乘除得負。
3. 四則運算的原則：
(1) 若只有加減或只有乘除時，通常是由左而右計算，除非使用了加法、乘法的交換律或
結合律。
(2) 若混有加減乘除四則運算時，要先做乘除，再做加減。
(3) 若混有指數或絕對值的部分，則觀察其位置後再決定是先算還是後算。
(4) 若遇有多重括號時，應先算小括號，再算中括號，最後算大括號。
4. (1) 若a×b＞0，且a＋b＞0，則a＞0，b＞0。
(2) 若a×b＞0，且a＋b＜0，則a＜0，b＜0。
(3) 若a×b＜0，且a－b＞0，則a＞0，b＜0。
(4) 若a×b＜0，且a－b＜0，則a＜0，b＞0。
5. (1) 加法的交換律：a＋b＝b＋a。
(2) 加法的結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b＝a＋b＋c。
6. (1) 乘法的交換律：a×b＝b×a。
(2) 乘法的結合律：(a×b)×c＝a×(b×c)＝(a×c)×b＝a×b×c。
(3) 乘法對加減法的分配律：
(3) 左分配：a×(b＋c)＝a×b＋a×c；a×(b－c)＝a×b－a×c。
(3) 右分配：(a＋b)×c＝a×c＋b×c；(a－b)×c＝a×c－b×c。
7. 提公因數：a×b＋a×c＝a×(b＋c)；a×b－a×c＝a×(b－c)。