科學記號

1.   若將一個正數寫成a×10ⁿ的形式，其中1　a＜10，n為整數，
則我們稱其為「科學記號表示法」。

 2. 若n為正整數，則：
(1) 科學記號a×10ⁿ乘開後，整數部分是(n＋1)位數。
(2) 科學記號a×10^－n乘開後，小數點後第n位才開始出現不為0的數字。

 3. 科學記號的大小比較：當指數不同時，指數較大者其值也較大；
　　　　　　　　　　當指數相同時，則前面的數較大者，其值也較大。
例：(1) 指數不同時，比較指數大小即可：2×10⁵＞7×10⁴＞8×10³
　　(2) 指數相同時，比較前面的數大小即可：8×10⁵＞7×10⁵＞6×10⁵

 4. 科學記號的乘法：(a×10^m)　(b×10ⁿ)＝(a×b)×10^m＋n。
例：(5×10⁴)×(9×10²)＝(5×9)×10^4＋2＝45×10⁶＝4.5×10⁷

 5. 科學記號的除法：(a×10^m)÷(b×10ⁿ)＝(a÷b)×10^m－n。
例：(2×10⁸)÷(5×10³)＝(2÷5)×10^8－3＝0.4×10⁵＝4×10⁴

 6. (補充)科學記號的加法或減法：通常均化成指數較高次者以便於相加或相減。
例：4×10⁵＋3×10⁴＝4×10⁵＋0.3×10⁵＝4.3×10⁵
　　3×10⁷－8×10⁵＝3×10⁷－0.08×10⁷＝2.92×10⁷

指數律

n個a

 1. 設a為任意數，則a×a×a×…×a可記為aⁿ，讀作「a的n次方」，其中a稱為底數，n稱為指數或次方。

 2. (負數)^偶次方＞0，(負數)^奇次方＜0。

 3. (－1)^偶次方＝1，(－1)^奇次方＝－1。

 4. 乘方的大小比較：先判斷各指數乘開後為正數還是負數，正數必大於負數。若正負符號相同時，將各數化成同底數或同指數以便於判斷。

 5. 若a、b都是不為0的整數，且m、n為整數，則：
(1) a^m×aⁿ＝a^m＋n。
(2) (a^m)ⁿ＝a^m×n。
(3) (a×b)^m＝a^m×b^m。
(4) a^m÷aⁿ＝a^m－n。
(5) a⁰＝1 (註：0⁰為無意義)。
(6) a^－n＝。

整數的乘除與四則運算

1.   同號數相乘或相除會得正數；異號數相乘或相除會得負數。
亦即「正正得正」、「正負得負」、「負正得負」、「負負得正」。

 2. 偶數個負數連乘除得正；奇數個負數連乘除得負。

 3. 四則運算的原則：
(1)  若只有加減或只有乘除時，通常是由左而右計算，除非使用了加法、乘法的交換律或
      結合律。
(2)  若混有加減乘除四則運算時，要先做乘除，再做加減。
(3)  若混有指數或絕對值的部分，則觀察其位置後再決定是先算還是後算。
(4)  若遇有多重括號時，應先算小括號，再算中括號，最後算大括號。

 4. (1) 若a×b＞0，且a＋b＞0，則a＞0，b＞0。
(2) 若a×b＞0，且a＋b＜0，則a＜0，b＜0。
(3) 若a×b＜0，且a－b＞0，則a＞0，b＜0。
(4) 若a×b＜0，且a－b＜0，則a＜0，b＞0。

 5. (1) 加法的交換律：a＋b＝b＋a。
(2) 加法的結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b＝a＋b＋c。

 6. (1) 乘法的交換律：a×b＝b×a。
(2) 乘法的結合律：(a×b)×c＝a×(b×c)＝(a×c)×b＝a×b×c。
(3) 乘法對加減法的分配律：
(3) 左分配：a×(b＋c)＝a×b＋a×c；a×(b－c)＝a×b－a×c。
(3) 右分配：(a＋b)×c＝a×c＋b×c；(a－b)×c＝a×c－b×c。

 7. 提公因數：a×b＋a×c＝a×(b＋c)；a×b－a×c＝a×(b－c)。

整數的乘除與四則運算

1.   同號數相乘或相除會得正數；異號數相乘或相除會得負數。
亦即「正正得正」、「正負得負」、「負正得負」、「負負得正」。

 2. 偶數個負數連乘除得正；奇數個負數連乘除得負。

 3. 四則運算的原則：
(1)  若只有加減或只有乘除時，通常是由左而右計算，除非使用了加法、乘法的交換律或
      結合律。
(2)  若混有加減乘除四則運算時，要先做乘除，再做加減。
(3)  若混有指數或絕對值的部分，則觀察其位置後再決定是先算還是後算。
(4)  若遇有多重括號時，應先算小括號，再算中括號，最後算大括號。

 4. (1) 若a×b＞0，且a＋b＞0，則a＞0，b＞0。
(2) 若a×b＞0，且a＋b＜0，則a＜0，b＜0。
(3) 若a×b＜0，且a－b＞0，則a＞0，b＜0。
(4) 若a×b＜0，且a－b＜0，則a＜0，b＞0。

 5. (1) 加法的交換律：a＋b＝b＋a。
(2) 加法的結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b＝a＋b＋c。

 6. (1) 乘法的交換律：a×b＝b×a。
(2) 乘法的結合律：(a×b)×c＝a×(b×c)＝(a×c)×b＝a×b×c。
(3) 乘法對加減法的分配律：
(3) 左分配：a×(b＋c)＝a×b＋a×c；a×(b－c)＝a×b－a×c。
(3) 右分配：(a＋b)×c＝a×c＋b×c；(a－b)×c＝a×c－b×c。

 7. 提公因數：a×b＋a×c＝a×(b＋c)；a×b－a×c＝a×(b－c)。

1.   (1) 加法運算規則：① a＋(－b)＝a－b或－(b－a)。
(1) 加法運算規則：② (－a)＋b＝b－a或－(a－b)。
(1) 加法運算規則：③ (－a)＋(－b)＝－(a＋b)。
(2) 減法運算規則：① a－(－b)＝a＋b。
(2) 減法運算規則：② (－a)－b＝－(a＋b)。
(2) 減法運算規則：③ (－a)－(－b)＝－a＋b。

 2. 減去一個數就等於加上這個數的相反數，故其作法即同加法運算的運算原則。

 3. (1) 括號前若為「＋」號，則去括號後，各項都不用變號。
(2) 括號前若為「－」號，則去括號後，各項都要變號。

 4. (1) 若a＞b，則｜a－b｜＝a－b。
(2) 若a＝b，則｜a－b｜＝0。
(3) 若a＜b，則｜a－b｜＝－(a－b)＝b－a。

 5. 數線上有A(a)、B(b)兩點，則A、B兩點間的距離
AB ＝大的數－小的數
AB ＝右邊的點所代表的數－左邊的點所代表的數
AB ＝｜a－b｜或｜b－a｜。

負數與數線

1.   整數包含正整數、0、負整數。

 2. 數線三要素：原點、正向、單位長。

 3. (1) 在正數中，離原點愈遠的點(愈右側)，其值愈大。
(2) 在負數中，離原點愈遠的點(愈左側)，其值愈小。

 4. 數線上的點所代表的數稱為該點在數線上的坐標，若P點的坐標為a，可記為P(a)。

 5. 若將數線上某兩點之間分成n等分，則需要(n－1)個等分點。

 6. 三一律：對於任意兩數a、b，三種關係a＞b、a＜b、a＝b中必有一種成立。

 7. 遞移律：(1) 若a＞b且b＞c，則a＞c (即a＞b＞c)。
　　　　(2) 若a＜b且b＜c，則a＜c (即a＜b＜c)。
　　　　(3) 若a＝b且b＝c，則a＝c (即a＝b＝c)。

 8. 相反數：數線上與原點距離相等，但方向相反的兩個點所代表的數，稱為相反數，而兩個相反數的和必為0。

 9. 絕對值：一個數所代表的點與原點的距離，稱為這個數的絕對值。

10. (1) 離原點愈遠的點，其所代表的數的絕對值也愈大。
(2) 離原點愈近的點，其所代表的數的絕對值也愈小。

11. (1) 在正數中，絕對值愈大的數，其值也愈大。
(2) 在負數中，絕對值愈大的數，其值反而愈小。