1.   利用和或差的平方公式進行因式分解：
a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²；a²－2ab＋b²＝(a－b)²。

 2. 五項通常可分成兩項、三項，而三項的部分通常可利用和或差的平方公式。
例：a²＋8a＋16－3ab－12b＝(a²＋8a＋16)－3b(a＋4)
例：a²＋8a＋16－3ab－12b＝(a＋4)²－3b(a＋4)
例：a²＋8a＋16－3ab－12b＝(a＋4)[(a＋4)－3b]
例：a²＋8a＋16－3ab－12b＝(a＋4)(a＋4－3b)

 3. 利用平方差公式進行因式分解：a²－b²＝(a＋b)(a－b)。

 4. 常見同時利用平方差公式與和或差的平方公式以進行因式分解的題型。

 5. (1)  三項通常可直接利用和或差的平方公式，之後再利用平方差公式。
      例：x⁴－18x²＋81＝(x²－9)²＝[(x＋3)(x－3)]²＝(x＋3)²(x－3)²
(2)  四項通常可分成一項、三項，先利用和或差的平方公式，之後再利用平方差公式。
      例：x²＋4x＋4－y²＝(x²＋4x＋4)－y²＝(x＋2)²－y²＝(x＋2＋y)(x＋2－y)

1.   若多項式C同時為多項式A與B的因式，則稱C為A與B的公因式。

 2. 一個多項式，以加減法隔開的各項中，若均含有相同的因式時，則直接將各項的公因式提出，寫在括號前面，而剩餘的式子則寫在括號裡面。

 3. 一個多項式的各項並非均含有相同的因式時，則考慮將其各項分組，分組後，即可發現各組有共同的因式，再進行因式分解。

 4. 通常在一個多項式中，若無法直接提公因式因式分解，也無法利用分組提公因式因式分解時，則可觀察題型後，考慮將其中一項進行拆項的動作，之後再分組以進行因式分解。
例：在因式分解2x⁴＋x³＋7x²＋2x＋6時，可將其中間項7x²拆成3x²＋4x²，則此時原式變
　　為2x⁴＋x³＋3x²＋4x²＋2x＋6＝(2x⁴＋x³＋3x²)＋(4x²＋2x＋6)
　　＝x²(2x²＋x＋3)＋2(2x²＋x＋3)＝(2x²＋x＋3)(x²＋2)

因式倍式與因式分解

1.   設A、B為多項式，利用多項式的除法，若A÷B能整除，則B為A的因式，A為B的倍式。

 2. 若A÷B能整除，則B為A的因式；而A÷kB也必能整除(k為常數，k≠0)，kB也必為A的因式。

 3. 因式分解：把一個多項式分解成幾個因式的連乘積，這樣的步驟即稱為「因式分解」。因式分解即為乘積展開的逆運算。

 4. 若因式與倍式中的係數含有未知數，除了可利用多項式的除法，使其餘式為0解出該未知數之外，還可以利用因式定理解之。

 5. 因式定理：若(ax－b)為多項式A的因式，
亦即A＝(ax－b)×Q，Q為A除以(ax－b)的商式。
令ax－b＝0，則以x＝ EQ \F(b,a代入原式中可得A＝0。

勾股定理

1.   在直角三角形中，兩股平方和等於斜邊的平方，
此即為「勾股定理」，如右圖，a²＋b²＝c²。

 2. 承1，a²＋b²＝c²可得
 3. 常見直角三角形的邊長整數組合為(3 , 4 , 5)、(5 , 12 , 13)、(7 , 24 , 25)、(8 , 15 , 17)、
(9 , 40 , 41)、(20 , 21 , 29)等。

 4. 設m＞n＞0，則m²－n²、2mn、m²＋n²必為直角三角形的三邊長，m²＋n²必為斜邊。

 5. 如右圖，A(x₁ , y₁)、B(x₂ , y₂)為直角坐標平面上相異的兩點，
則 AB ＝。

 6.   直角三角形斜邊上的高＝。
如右圖，h＝。

多項式的乘除運算

1.   利用指數律來進行多項式的乘法。
(1) x^m×xⁿ＝x^m＋n。
(2) (x^m)ⁿ＝x^mn。

 2. 利用乘法公式來進行多項式的乘法。
(1) (x＋y)²＝x²＋2xy＋y²。
(2) (x－y)²＝x²－2xy＋y²。
(3) (x＋y)(x－y)＝x²－y²。

 3. 利用指數律：a^m÷aⁿ＝a^m－n以及長除法或分離係數法，來進行多項式的除法。

 4. 在做除法運算時，除法要做到餘式的次數比除式的次數小，或餘式為0才算完成。若遇到缺項時，該項係數要補0。

 5. 在多項式的除法中，設被除式為A，除式為B，商式為Q，餘式為R，B≠0，則：
(1) A＝BQ＋R，亦即被除式＝除式×商式＋餘式。
(2) EQ \F(A,B＝Q＋ EQ \F(R,B，亦即＝商式＋。

多項式與其加減運算

1.   在一個x的多項式中，x的最高次數稱為這個多項式的次數。

 2. 多項式ax²＋bx＋c的二次項是ax²，它的係數為a；一次項是bx，它的係數為b；常數項是c。

 3. 將x的多項式的各項依照x的次數由小到大排列，稱為升冪排列；依照x的次數由大到小排列，稱為降冪排列。

 4. 做多項式的加(減)法運算時，就是把同類項係數相加(減)。

 5. 分離係數法是將直式中各項的係數與文字分開，只寫出係數做運算的一種方法。而在寫出係數時，遇到缺項，通常都補0。

 6. (1) 若m＞n，則一個m次多項式與一個n次多項式，相加減後的和或差必為m次多項式。
(2) 若m＝n，則一個m次多項式與一個n次多項式，相加減後的和或差從零次到m次都
      有可能。

乘法公式

1.   乘法對加減法的分配律：
(1)  a(b＋c)＝ab＋ac；a(b－c)＝ab－ac。
(2)  (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；(a＋b)(c－d)＝ac－ad＋bc－bd；
      (a－b)(c＋d)＝ac＋ad－bc－bd；(a－b)(c－d)＝ac－ad－bc＋bd。

 2. 和的平方公式：(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²。

 3. 差的平方公式：(a－b)²＝a²－2ab＋b²。

 4. 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a²－b²。

 5. 乘法公式內的符號變化：
(1) (－a＋b)²＝(a－b)²＝a²－2ab＋b²。
(2) (－a－b)²＝(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²。
(3) (－a－b)(－a＋b)＝(a＋b)(a－b)＝a²－b²。
(4) (－a＋b)(a＋b)＝(b－a)(b＋a)＝b²－a²。
(5) (－a－b)(a－b)＝－(a＋b)(a－b)＝－(a²－b²)＝－a²＋b²。

 6. 兩項式的平方公式活用：
(1) a²＋b²＝(a＋b)²－2ab；a²＋b²＝(a－b)²＋2ab。
(2) (a－b)²＝(a＋b)²－4ab；(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab。

分數的加減

1.   分數的大小比較：
(1) ① 同分母的正分數：若分子愈大，其值愈大。
      ② 同分子的正分數：若分母愈大，其值愈小。
      ③ 異分母的正分數：利用擴分或約分將所有分數化成同分母或同分子後，再比較大小。
(2) ① 分子、分母差值一樣的兩個正真分數，其分子、分母愈大者，其值也愈大。
      　 例： EQ \F(9,10＜ EQ \F(10,11＜ EQ \F(11,12。
      ② 分子、分母差值一樣的兩個正假分數，其分子、分母愈大者，其值也愈小。
      　 例： EQ \F(10,9＞ EQ \F(11,10＞ EQ \F(12,11。

 2. 任意幾個分數都可以做加、減運算，其作法如下。
(1) 同分母時：分母不變，分子直接相加或相減。
(2) 異分母時：將這些分數通分化成同分母後，再相加或相減。

 3. 去括號法則：括號內的式子可以先計算，若不先計算，則可利用去括號的法則化簡。
(1) 括號前為「＋」號：去括號後，各項符號不變。例：a＋(b－c)＝a＋b－c。
(2) 括號前為「－」號：去括號後，各項符號都要改變。例：a－(b－c)＝a－b＋c。

 4. 加法的交換律與結合律：若a、b、c為任意數，則：
(1) 交換律：a＋b＝b＋a。
(2) 結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b＝a＋b＋c。

 5. 具有規律性的計算題型通常可利用分項對消的方法讓計算過程簡化。

最大公因數與最小公倍數

1.   (1) 公因數與最大公因數：幾個整數中，其共同的因數稱為它們的公因數；
      而最大者則稱為最大公因數，以符號(　)表示。
(2) 公倍數與最小公倍數：幾個整數中，其共同的倍數稱為它們的公倍數；
      而最小者則稱為最小公倍數，以符號[　]表示。

 2. 可由國小所學的短除法來求最大公因數與最小公倍數。

 3. (1) 幾個整數的最大公因數的所有因數，也恰是這幾個整數的公因數。
(2) 幾個整數的最小公倍數的所有倍數，也恰是這幾個整數的公倍數。

 4. (1) 兩個正整數a、b，若a為b的倍數，則(a , b)＝b。
(2) 兩個正整數a、b，若a為b的倍數，則[a , b]＝a。

 5. (1) 若兩個整數的最大公因數為1，則稱這兩個數互質。
(2) 若兩個整數沒有相同的質因數，則這兩數互質。

 6. 除了利用國小所學的短除法來求最大公因數與最小公倍數外，尚可利用各數的標準分解式求得。
(1) 最大公因數：取共同的質因數，次方取較小的相乘，此即為最大公因數。
(2) 最小公倍數：取所有的質因數，次方取較大的相乘，此即為最小公倍數。
例：(3²×5³×7³ , 3²×5×7⁴×11)＝3²×5×7³  　　[3²×5³×7³ , 3²×5×7⁴×11]＝3²×5³×7⁴×11

 7. 在處理餘數與不足數的題型時，各數若有餘數則要減去，有不足數則要加上，再求其最大公因數，但須注意除數一定要比餘數及不足數大。

 8. 排容原理常與最小公倍數出現綜合考題，以求出特定條件的倍數個數。

因數與倍數

1.   因數、倍數的意義：a、b、c為整數，且b≠0，c≠0，若a＝b×c，則a為b、c的倍數，
b、c為a的因數。

 2. (1) 2的倍數判別法：若一個整數的個位數字為0、2、4、6、8，則這個整數即為2的倍數。
(2) 5的倍數判別法：若一個整數的個位數字為0、5，則這個整數即為5的倍數。
(3) 4的倍數判別法：若一個整數的末兩位數字為4的倍數，則這個整數即為4的倍數。
(4) 3的倍數判別法：若一個整數的各位數字和為3的倍數，則這個整數即為3的倍數。
(5) 9的倍數判別法：若一個整數的各位數字和為9的倍數，則這個整數即為9的倍數。
(6) 11的倍數判別法：若一個整數的奇數位數字和與偶數位數字和的差是11的倍數，
      則這個整數即為11的倍數。

 3. (1) 質數：一個大於1的整數，如果除了1和它本身之外，沒有其他的正因數，則稱這個
      整數為質數。
(2) 合數：一個大於1的整數，如果除了1和它本身之外，還有其他的正因數，則稱這個
      整數為合數。

 4. 質因數：一個整數的因數如果是質數，則這個因數就是這個整數的質因數。

 5. 質因數分解：每一個合數都可以分解成它的質因數的連乘積，其中分解的過程即稱為質因數分解。

 6. 標準分解式：將一個合數做質因數分解，若按照質因數的大小，由小到大排列，並將相同質因數的乘積寫成指數的形式，則這樣的表示法稱為標準分解式。